Effective markov transition matrix를 이용한 풍속예측 및 MCP 모델과 비교

2.1 풍속예측 및 검증방법

본 연구는 Fig. 1의 절차에 따라 수행하였으며, MTS를 이용한 풍속예측 시, 기존 MTM을 이용한 예측 결과와 MTS 방법을 개선한 EMTM 방법을 이용한 결과를 각각 도출하였다.

Fig. 1.

The procedure of MTS method and validation

그리고 MTM 및 EMTM을 이용한 MTS 예측결과를 기존의 다른 MCP 모델을 이용한 예측결과와 서로 비교함으로써 개선한 MTS 예측방법을 검증하였다.

비교 검증을 위한 결과값 비교 시, 실제 측정값과의 상관계수(Correlation coefficient), 평균 상대 편차(MRE), 평균 제곱근 편차(RMSE)의 항목을 이용하여 비교분석을 수행하였다.^[6]

2.2 분석데이터 현황

본 연구를 위하여 Fig. 2와 같이 제주도 동북부 해안인근에 설치된 두 곳의 기상 측정탑에서 측정된 데이터를 기준데이터(Reference data) 및 목표데이터(Target data)로 설정하여 분석하였다.

Fig. 2.

The locations of Met mast1 and Met mast2

활용한 기상 측정탑의 사양 및 데이터 현황은 Table 1과 같다.

Table 1.

The specifications of Met masts

1년간의 계측데이터를 활용하였으며, 풍속 데이터간의 데이터 상관계수는 약 0.936으로 분석되었고 풍향 데이터 간의 데이터 상관계수는 약 0.842로 분석되었다.

두 지점간의 풍속 및 풍향데이터의 상관계수는 0.8이상이므로 MCP 모델을 활용하여 신뢰성 있는 데이터 예측이 가능할 것으로 판단하였다.^[7]

2.3 MTS 절차

MTS 분석을 위해 계측된 데이터를 이용하여 Fig. 1의 ‘MTS(Matrix Time Series) method’ 절차 내 1~4단계까지 분석을 수행하였고,^[8] 이에 대한 상세한 설명 및 절차는 아래와 같다.

MTS 분석 시, 데이터 계측 지점의 주변 지형 및 장애물 등으로 인한 바람 유동영향을 고려하기 위하여 360° 측정 전방위각을 정북 방향 0°를 기준으로 하여 30° 간격으로 Fig. 3과 같이 측정영역을 구분하였다. 각 측정영역의 크기는 계측데이터 부족으로 인한 분석 오류를 최소화 할 수 있도록 30°로 하였다.

Fig. 3.

The 12 divisions of measurement sector

MTS 분석을 위한 1단계로 기준 풍속과 목표 풍속의 풍속데이터의 재현성(Occurrences)을 고려하여 결합 확률 분포(JPD)를 구한다.

예를 들어 Fig. 4의 측정영역 11(285°~315°)에서의 결합 확률 분포를 보면 기준 풍속과 목표 풍속을 1 m/s~50 m/s까지 1 m/s간격으로 분류하였을 때, 기준 풍속 6m/s에서 목표 풍속은 2 m/s~8 m/s범위로 계측되었으며 목표 풍속 6 m/s에서 가장 많은 610 개의 데이터가 계측되었다. 이와 같이 각 방위각별로 총 12 개의 결합 확률 분포를 구하였다.

Fig. 4.

JPD for measurement sector11 (285°~315°)

다음 2단계로 목표 풍속을 풍속 백분위 데이터로 변환하여야 한다. 이를 위해 앞서 구한 측정영역별 결합 확률 분포를 이용하여, Fig. 5와 같이 Fig. 3의 측정영역 11 내에서 기준 풍속 5 m/s에 대해 목표 풍속이 발생할 확률을 누적 확률 밀도 함수(CDF)로 도출 한다.

Fig. 5.

The result of the CDF for sector11 (285°~315°) at reference wind speed 5 m/s

누적 확률 밀도 함수는 각 측정영역 당 기준 풍속 0 m/s~50 m/s에 대하여 51개의 누적 확률 밀도 함수를 구하였고, 총 612개의 누적 확률 밀도 함수를 구하였다.

이를 이용하여 계측기간 중의 목표 풍속을 풍속 백분위 데이터로 변환한다. Fig. 6은 계측 기간 중에 일부인 19.01.01. 07:50~19:20까지 기간에 대하여 계측된 기준풍속 및 측정영역을 고려하여 앞서 구한 612개의 누적 확률 밀도 함수 중 해당 누적 확률 밀도 함수에 따라 풍속 백분위 데이터로 변환한 결과이다.

Fig. 6.

The result of building percentile time series during 19.01.01. 07:50~19:20

다음 3단계로 풍속 예측이 필요한 구간에 대하여 풍속 백분위 데이터를 생성한다. 이를 위해 마르코프 기반 재구성 원리를 이용하여 상태 전이 확률(State transition probability)에 따른 MTM을 구성하여야 한다. MTM 구성에 대한 상세한 방법 및 절차는 2.4절의 ‘MTM 구성’에서 다루었다.

마지막 4단계로 예측한 풍속 백분위 데이터는 앞서 측정 영역별 기준 풍속에 대한 누적 확률 밀도 함수에 매칭하여 최종적으로 풍속데이터로 변환된 예측풍속을 구할 수 있다. Fig. 7은 19.12.1. 00:00~19.12.02. 00:00까지의 예측기간에 대하여 기준 풍속 5 m/s에서 예측한 목표 풍속 백분위 데이터 47.5% 값을 해당 누적 확률 밀도 함수에 매칭하여 예측 풍속 3.8 m/s로 변환하는 과정을 보여준다.

Fig. 7.

The result of transform percentile data into target wind speeds

2.4 MTM 구성

풍속 데이터를 예측하기 위하여 마르코프 기반 재구성 원리에 따라 MTM을 구성한다. 이를 위하여 풍속 백분위 데이터에 대한 상태(state)를 정의하는데, 백분위 0%~100%까지를 n개로 나누어 상태를 정의한다. 일반적인 MTM에서는 상태를 1~25단계로 구분하여 1단계를 0%이상 4% 미만, 2단계를 4%이상 8% 미만으로 1단계당 4%의 bin 크기로 정의한다.

i번째 풍속 백분위 시계열 데이터 v_p,i를 1~25단계의 상태로 구분할 때, 이를 초기상태(Initial state)라고 하고 i+1번째 풍속 백분위 v_p,i+1를 1~25단계의 상태로 구분할 때 이를 최종상태(Final state)라고 정의하였다.

즉 상태 전이 확률을 p_i,j라 하면 이는 시간간격 Δt를 두고 초기상태 i단계에서 최종상태 j단계로 전이될 확률로 식 (1)과 같이 25×25 행렬구조를 구할 수 있다. 이렇게 구성한 상태 전이 확률 행렬 P를 MTM으로 정의한다.^[9]

식 (1)에서의 p_1,1은 초기상태가 1단계인 상태에서 최종 상태가 1단계일 확률을 의미하고, p_1,2는 초기상태가 1단계인 상태에서 최종상태가 2단계가 될 확률을 의미한다.

p_1,1에서 p_1,25까지의 총합은 초기상태가 1단계에서 최종 상태 1에서 25단계까지 전이될 확률의 총합을 의미하기 때문에 식 (2)와 같다.

Table 2는 위의 식 (1)에 따른 초기상태에 따른 최종상태 전이 확률을 나타낸 결과이다. 예를 들어 초기상태 1단계에서 최종상태 1단계로 전이될 확률은 0.8994이며, 최종 상태 2단계로 전이될 확률은 0.10057을 의미한다. 이는 초기상태 1단계의 풍속 백분위 범위인 0%이상 4%미만의 저풍속 백분위 범위에서는 최종상태가 약 90%는 1단계로 유지되고, 약 10%는 최종상태가 2단계로 전이되는 것을 의미한다. 그리고 초기상태 6단계의 풍속 백분위 범위인 20%이상 24% 미만에서는 최종상태가 4단계에서 9단계까지 다양한 범위에서 풍속 전이 확률이 발생되고 있으며, 이러한 다양한 풍속 전이 확률은 풍속의 변동성에서 기인한다.

Table 2.

The state transition probability of MTM

2.5 EMTM 구성

앞서 정의한 MTM은 풍속 백분위 시계열 데이터의 상태를 1~25단계로, 단계당 4%의 bin 크기로 일정하게 구분하였다.

풍속 백분위 시계열 데이터 예측 시, 초기상태에 따라 1~25단계의 각 상태 전이 확률로 랜덤하게 최종상태를 선택하기 때문에 예측 데이터는 4%의 예측 변동 폭을 갖게 되고, 인접한 최종상태로 선택될 시에는 8% 이상의 예측 변동 폭으로 확대될 수 있다. 이러한 예측 데이터의 변동폭으로 인하여 예측결과의 신뢰성을 확보하기 어려운 한계를 갖는다. 따라서 예측 데이터의 변동 폭을 낮추어 예측결과의 신뢰성을 확보하기 위하여 MTM을 개선한 EMTM 방법을 제안하였다.

EMTM은 MTM으로 상태 전이 확률 행렬을 1차적으로 구성한 결과에 대하여 상태 전이가 발생한 구간만을 대상으로 2차로 상태 전이 확률 행렬을 재구성하는 것을 의미한다.

즉, 식 (1)에서 상태 전이 확률 행렬 내 요소 확률 p_i,j 이 식 (3)의 조건을 만족하는 경우에 대하여 2차로 상태 전이 확률을 구할 수 있다.

예를 들어 Table 2에서 1차 상태 전이 확률 행렬 중 초기 상태 1단계에서 식 (3)의 조건을 만족하는 최종상태 구간은 1~2단계까지 구간으로 0% 이상 8% 미만 구간이다. 위의 구간에 대하여 2차로 최종상태 구간을 25단계로 구분하면 최종상태 단계당 0.32%의 bin 크기로 구분할 수 있다. 또한 초기상태 2단계에서는 최종상태 구간이 1~4단계까지 구간인 0%이상 16%미만 구간이므로 이를 2차로 최종상태 구간을 25단계로 구분하면 최종상태 단계당 0.64%의 bin 크기로 구분할 수 있다. 즉, 초기상태에 대한 2차 상태 전이 확률 행렬의 최종상태에 대한 bin 크기 W_i는 식 (4)와 같고, Table 3과 같이 각 초기상태 단계에 대한 2차 최종상태 단계의 bin 크기를 정할 수 있다.

Table 3.

The bin ranges and widths of EMTM

이는 실질적으로 최종상태 전이가 발생한 구간에 대하여 2차 상태 전이 확률 행렬의 최종상태 구간을 세밀하게 구분함으로써 초기상태에 따라 랜덤하게 최종상태 선택 시 예측 변동폭을 줄일 수 있음을 의미한다.

여기서 R_i,max는 초기상태 i단계에서 상태 전이가 발생한 최대구간, R_i,min은 초기상태 i단계에서 대한 상태 전이가 발생한 최소구간을 의미한다.

2.6 MTM과 EMTM 예측 변동 비교

Table 2의 MTM에서는 각 초기상태 단계에 대한 최종상태 단계의 bin크기는 일률적으로 4% 범위를 적용하였기 때문에 초기상태에 대한 최종상태 단계 정밀도가 낮게 선택될 수 있다.

반면에 Table 4의 EMTM에서는 Table 3과 같이 초기상태 단계에 따른 2차 최종상태 단계의 bin크기를 적용함으로써, 최종상태 단계 랜덤 선택 시 최종상태 단계를 높은 정밀도로 선택할 수 있다.

Table 4.

The state transition probability of EMTM

예를 들어, 초기상태 1단계에서 최종상태 단계를 랜덤 선택 시에 MTM에서는 최종상태 단계가 1~2단계 범위로 선택되는 풍속 백분위 데이터는 최소 4%의 변동폭이 발생하지만 EMTM에서는 최종상태 단계가 1~25단계로 구분되어 최소 0.32%의 변동폭으로 랜덤 선택됨으로 풍속 예측 변동폭을 크게 줄일 수 있다.

최종상태 단계 랜덤 선택 후, 풍속 백분위 데이터 예측 시에는 선택된 최종상태 단계의 백분위 범위 내에서 균일 분포 확률로 랜덤하게 예측 하기 때문에 최종상태 단계의 bin 크기도 예측 변동폭을 줄이는데 영향을 미친다.

이처럼 최종상태 단계 랜덤 선택 시 변동폭을 줄임으로써 예측 결과에 미치는 영향을 분석하기 위해 분석데이터 중 임의의 기간을 선정하여 MTM 및 EMTM으로 각각 예측을 5회 반복 수행하였고, 이에 따라 예측결과가 어떻게 달라지는지 분석하였다.

Fig. 8과 Fig. 9는 19.12.26. 00:00~19.12.27 00:00까지 동일 기간 내 MTM 및 EMTM을 이용하여 예측을 5회 반복 수행한 결과이다. MTM을 이용한 풍속예측 시, 반복 예측값 간의 차이가 EMTM을 이용한 반복 예측결과 값보다 크게 분석되었다. 이는 MTM의 최종상태 단계의 낮은 정밀도로 인하여 랜덤 선택 시, 예측할 때마다 다른 최종상태 단계를 선택할 확률이 높고 최종상태 단계의 4% bin크기로 인한 예측 변동폭에서 기인한다.

Fig. 8.

The result of repeated prediction by using MTM

Fig. 9.

The result of repeated prediction by using EMTM

예측 변동 크기를 비교하기 위하여 식 (5)의 CV값으로 반복 예측 평균값 대비 반복 예측값들의 산포를 비교하고, 또한 식 (6) 및 식 (7)의 RV값으로 반복 예측값의 최대 및 최소 변동크기를 비교하였다.

여기서 σ_v는 5회 반복 예측값의 표준편차, $$ \overline{v}$$는 5회 반복 예측값의 평균값, v_max는 5회 반복예측값 중 최대값, v_min는 5회 반복 예측값 중 최소값을 의미한다.

Fig. 10과 같이 반복 예측결과에 대한 CV값을 비교하였을 때, MTM 이용 시 반복 예측결과 평균값 대비 산포가 최대 80% 이상 발생되고 있으나 EMTM 이용 시에는 30% 이내로 분석되었다. 또한 Fig. 11과 Fig. 12의 반복 예측값의 최대 및 최소 변동크기를 비교하였을 때, MTM 이용 시 최대 및 최소 변동크기 150% 및 -80% 이상 발생하였으나 EMTM 이용 시 최대 및 최소 변동크기 50% 및 -40% 이내로 발생하는 것으로 분석되었다.

Fig. 10.

The comparison of coefficient of variation for repeated prediction

Fig. 11.

The comparison of maximum range of variation for repeated prediction

Fig. 12.

The comparison of minimum range of variation for repeated prediction

Table 5의 예측 변동 비교결과를 보면 CV값 비교결과 EMTM으로 예측 시, 약 12.05% 반복 예측 변동 산포를 저감시켰고 RV값 비교결과 EMTM으로 예측 시, 최대 및 최소 변동크기를 약 15.62% 및 14.79%를 줄일 수 있었다.

Table 5.

The comparison of averaged results by MTM and EMTM

이는 EMTM을 통해 최종상태 단계의 정밀도를 향상시키고, 최종상태 단계의 bin크기를 줄임으로써 반복 예측 변동폭을 낮춘 결과로 분석된다.

2.7 예측 정확도 비교

2.7.1 MTM과 EMTM의 예측결과 비교

2.6절에서는 MTM과 EMTM 적용에 따른 예측 변동에 미치는 영향을 비교하였고, 본 절에서는 MTM 및 EMTM 적용에 따른 예측 정확도를 비교하였다.

예측결과 비교를 위하여 예측값과 측정값간의 상관계수(Correlation coefficient), 식 (8)에 따른 평균 상대 편차(MRE) 그리고 식 (9)에 따라 평균, 평균 제곱근 편차(RMSE) 항목에 대하여 비교 분석하였다.

$\[ MRE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N\frac{\left(v_{i,pred.}-v_i\right)}{v_i}\times 100 \left[\%\right] \]$

(8)

$\[ RMSE=\sqrt{\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{\left(v_{i,pred.}-v_i\right)}^2} \left[\text{m/s}\right] \]$

(9)

Fig. 13은 예측 정확도 검증을 위하여 저풍속에서 고풍속까지 다양한 바람이 발생한 19.12.26. 00:00~19.12.27. 00:00 기간에 대하여, 예측한 풍속과 실제 측정풍속을 비교한 결과이다.

Fig. 13.

The comparison of best prediction results by MTM and EMTM

Table 6은 예측값과 측정값을 비교한 결과를 통계적인 수치들을 이용하여 분석하였다. 결과적으로 EMTM으로 예측한 결과는 상관계수 약 0.986, 평균 상대 편차 약 5.31%, 평균 제곱근 편차 약 0.98 m/s로 MTM 예측값과 비교하였을 때, 상관계수는 0.01 높아지고 평균 상대 편차는 약 5.32%, 평균 제곱근 편차는 약 0.38 m/s 낮아지므로 EMTM으로 예측하였을 때 더 정확하게 실제 값을 예측하는 것으로 확인되었다.

Table 6.

The comparison results of predictions

이는 EMTM을 이용하여 풍속예측 시, 최종상태 단계를 세분화함으로써 실제와 가깝게 최종상태 단계가 랜덤 선택될 수 있도록 하였고, 선택된 상태 단계의 bin크기도 상태 전이 확률이 발생된 구간을 반영하여 분할하였기 때문에 랜덤 예측 변동폭을 줄일 수 있었기 때문으로 분석하였다.

2.7.2 다른 MCP 모델과의 예측결과 비교

EMTM 기반의 MTS 방법을 이용한 예측결과와, 일반적으로 활용되는 다른 MCP 모델들로 예측한 결과값을 비교하여 EMTM을 이용한 예측방법의 예측 오차를 비교하였다.

예측 오차 비교에 활용한 데이터는 앞에서 분석한 MTM과 EMTM 간의 예측 변동 및 예측 정확도 비교에 활용한 데이터 외, 다른 데이터를 선정하여 비교하였다.

비교에 활용한 다른 MCP 모델은 데이터간의 선형회귀(Linear regression)를 이용한 방법인 TLS 및 LLS와 데이터간의 표준편차의 비를 이용한 VR 이용한 방법을 활용하였다.

TLS는 ‘직교 최소 제곱법(Orthogonal least square)’라고도 하는 방법으로 두 데이터간의 잔차(Bias)를 최소로 갖는 선형회귀 방정식을 도출할 때, x방향 및 y방향의 잔차를 모두 고려하는 방법이다. LLS는 ‘최소 제곱법(Ordinary least square)’이라고도 하며, 두 데이터간의 잔차를 최소로 갖는 선형회귀 방정식 도출 시, y방향만의 잔차를 고려하는 방법이다. VR은 예측 데이터와 측정데이터의 표준편차가 동일하다고 가정하여 데이터간의 표준편차의 비를 이용한 예측 방법이다.^[8]

Fig. 14는 19.12.1. 00:00~19.12.2. 00:00 기간에 대하여 EMTM 기반의 MTS 방법을 이용한 풍속 예측 결과와 다른 MCP 모델인 TLS, LLS, VR을 이용한 예측결과를 실제 측정풍속을 비교한 결과이다.

Fig. 14.

The comparison results of MTS and other MCP models

Table 7은 측정 데이터와 위에서 열거한 MCP 모델을 이용한 예측결과를 통계적인 수치들을 이용하여 비교한 결과이다. EMTM으로 예측한 결과는 상관계수 약 0.952, 평균 상대 편차 약 10.06%, 평균 제곱근 편차 약 0.99 m/s 결과를 보였다. 이는 다른 MCP 모델을 이용하여 분석한 예측결과와 비교했을 때, 상관계수는 큰 차이를 보이지 않지만, 평균 상대 편차는 최소 약 2.96%에서 최대 약 4.67%, 평균 제곱근 편차는 0.04 m/s~0.05 m/s 더 낮은 값을 가지게 되어 EMTM으로 예측한 결과가 다른 MCP 모델들에 비해 실제값을 더 정확하게 예측하는 것으로 분석되었다.

Table 7.

The comparison results of MCP

이러한 결과는 기존의 MCP 모델들은 두 풍속데이터간의 잔차를 이용한 수학적 모델링에 기반하여 풍속을 예측하는 반면에 EMTM을 이용하여 예측하는 경우, 풍속 백분위 데이터에 대하여 초기상태 단계에서 최종상태 단계로 상태 전이되는 실제 발생된 확률을 기반으로 풍속을 예측하기 때문에 다른 MCP 모델들 보다 실제값과 가깝게 예측하는 것으로 판단된다.